Kuidas lahendada võrrandid juurtega
Mõnikord on võrrandites juure märk. Paljudele õpilastele näib, et selliseid võrrandeid on juurtega või õigemini öeldes irratsionaalseid võrrandeid lahendada on väga keeruline, kuid see pole nii.
Kasutusjuhend
1
Erinevalt teist tüüpi võrranditest, näiteks ruutkeskmised või lineaarsed võrrandisüsteemid, pole juurtega võrrandite lahendamiseks standardset algoritmi ega täpsemalt irratsionaalseid võrrandeid. Igal konkreetsel juhul tuleb võrrandi välimuse ja tunnuste põhjal valida kõige sobivam lahendusmeetod.
Võrrandi osade tõstmine samale tasemele.
Kõige sagedamini kasutatakse juurtega võrrandite (irratsionaalsed võrrandid) lahendamiseks võrrandi mõlema poole tõstmist samal määral. Reeglina juure astmega võrdse kraadini (ruutjuure ruut, kuupmeetri jaoks kuubik). Tuleb meeles pidada, et kui võrrandi vasakut ja paremat külge võrdsel määral tõsta, võivad tal olla "ekstra" juured. Seetõttu peaks sel juhul kontrollima saadud juuri, asendades need võrrandis. Ruudukujuliste (ühtlaste) juurtega võrrandite lahendamisel tuleks erilist tähelepanu pöörata muutuja (ODZ) lubatud väärtuste vahemikule. Mõnikord on võrrandi lahendamiseks või märkimisväärseks lihtsustamiseks piisav üksnes ODL-i hinnangust.
Näide. Lahendage võrrand:
√ (5x-16) = x-2
Ruutme võrrandi mõlemad pooled:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², kust me saame järjest:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Saadud ruutkeskmist võrrandit lahendades leiame selle juured:
x = (9 ± √ (81–4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Asendades mõlemad leitud juured algsesse võrrandisse, saame õige võrdsuse. Seetõttu on mõlemad arvud võrrandi lahendid.
2
Uue muutuja tutvustamise meetod.
Mõnikord on mugavam leida „juurtega võrrandi” (irratsionaalne võrrand) juured uute muutujate lisamisega. Tegelikult taandub selle meetodi olemus lihtsalt lahenduse kompaktsemale rekordile, s.o. selle asemel, et iga kord mahukas väljend kirjutada, asendatakse see legendiga.
Näide. Lahendage võrrand: 2x + √x-3 = 0
Selle võrrandi saate lahendada, jagades mõlemad pooled. Kuid arvutused ise näevad välja üsna tülikad. Uue muutuja kasutuselevõtuga muutub otsustusprotsess palju elegantsemaks:
Tutvustame uut muutujat: y = √ x
Siis saame tavalise ruutkeskmise võrrandi:
2y² + y-3 = 0, muutujaga y.
Saadud võrrandi lahendamisel leiame kaks juuri:
y1 = 1 ja y2 = -3 / 2, asendades leitud juured avaldises uue muutujaga (y), saame:
√ x = 1 ja √ x = -3 / 2.
Kuna ruutjuure väärtus ei saa olla negatiivne arv (kui te ei puuduta keeruliste arvude ala), saame ainsa lahenduse:
x = 1.