Kuidas leida ümmarguse segmendi pindala

Üks levinumaid geomeetrilisi probleeme on ümmarguse segmendi pindala arvutamine - ringi osa, mis on piiratud akordiga, ja vastava ringi kaare vastava akordi.

Ümmarguse segmendi pindala on võrdne vastava ümmarguse sektori pindala ja sektori vastava segmendi ning segmenti piirava akordi raadiuste moodustatud kolmnurga pindala vahega.

Näide 1

Ringi tõmbuva akordi pikkus võrdub a väärtusega. Akordile vastava kaare kraadi mõõt on 60 °. Leidke ümmarguse segmendi pindala.

Lahendus

Kahe raadiusega ja akordi moodustatud kolmnurk on võrdsed, nii et kesknurga ülaosast akordi moodustatud kolmnurga küljele tõmmatud kõrgus saab olema ka kesknurga poolitaja, poolitades selle ja mediaani, vähendades akordi pooleks. Teades, et täisnurkse kolmnurga nurga siinus on võrdne vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega, saame arvutada raadiuse:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Antud nurgale vastava sektori pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Sektorile vastava kolmnurga pindala arvutatakse järgmiselt:

S ▲ = 1/2 * ah, kus h on kesknurga ülaosast akordi poole tõmmatud kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi on h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Vastavalt sellele on S ▲ = √3 / 4 * a².

Segmendi pindala, arvutatuna Sseg = Sc - S ▲, võrdub:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Asendades numbrilise väärtuse asemel a, saate hõlpsalt arvutada segmendi pindala arvväärtuse.

Näide 2

Ringi raadius on võrdne a-ga. Segmendile vastava kaare kraadi mõõt on 60 °. Leidke ümmarguse segmendi pindala.