Kuidas arvutada vektoritele ehitatud rööpküliku pindala?

Kõigil kahel mittekolineaarsel ja nullvektoril saab konstrueerida parallelogrammi. Need kaks vektorit tõmbuvad parallelogrammi, kui ühendate nende päritolu ühel hetkel. Lõpeta figuuri küljed.

Kasutusjuhend

1

Leidke vektorite pikkused, kui nende koordinaadid on antud. Las näiteks vektoril A on koordinaadid (a1, a2) tasapinnas. Siis on vektori A pikkus | A | = √ (a1² + a2²). Samamoodi leiame vektori B mooduli: | B | = √ (b1² + b2²), kus b1 ja b2 on vektori B koordinaadid tasapinnal.

2

Rööpküliku pindala leitakse valemiga S = | A | • | B | • sin (A ^ B), kus A ^ B on nurk antud vektorite A ja B vahel. Siinus leitakse koosinusest, kasutades peamist trigonomeetrilist identiteeti: sin²α + cos²α = 1 Kosinus võib väljenduda koordinaatidena kirjutatud vektorite skalaarkorrutisena.

3

Vektori A skalaarprodukt vektori B poolt tähistatakse (A, B). Definitsiooni järgi on see võrdne (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Ja koordinaatides kirjutatakse skalaarkorrutis järgmiselt: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Siit saame väljendada vektorite vahelise nurga koosinust: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Lugejas on skalaarkorrutis, nimetajas on vektorite pikkus.

4

Nüüd saame siinust väljendada peamise trigonomeetrilise identiteedi järgi: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Kui eeldada, et nurk α vektorite vahel on terav, saab siinusega miinus loobuda, jättes ainult plussmärgi, kuna ägeda nurga siinus võib olla ainult positiivne (või nullnurga all, kuid siin on nurk nullist erinev, kuvatakse see tingimusel) vektorite mittelineaarsus).

5

Nüüd peame asendama siinuse valemis koosinuse koordinaatide avaldise. Pärast seda jääb vaid tulemus kirjutada rööpküliku pindala valemis. Kui see kõik on tehtud ja numbriline avaldis on lihtsustatud, siis selgub, et S = a1 • b2-a2 • b1. Seega leitakse vektoritele A (a1, a2) ja B (b1, b2) konstrueeritud rööpküliku pindala valemiga S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Saadud avaldis on maatriksi määraja, mis koosneb vektorite A ja B koordinaatidest: a1 a2b1 b2.

7

Teise mõõtme maatriksi determinandi saamiseks peame tõepoolest korrutama peamise diagonaali elemendid (a1, b2) ja lahutama sellest külgdiagonaali elementide korrutise (a2, b1).